Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán, trường chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hòa, Đồng Nai năm 2014 - 2015

Mời các bạn tham khảo
---

a) X 2014 − ĐỒNG NAI − LTV − CHUYÊN
Bài 1 0,5 điểm
Tìm các số thực x và y thỏa x2 + 9y2 − 2x + 6y + 2 = 0.
Bài 2 1 điểm
Cho số thực x thỏa 1 2 < x < 1 5 2  . Chứng minh 2x3 − 3x2 − x + 1 < 0.
Bài 3 1,5
điểm Cho phương trình xn+2 − 12xn+1 + 29xn = 0, với n là số nguyên dương. Chứng minh rằng hai số 6 + 7và 6 − 7 là nghiệm của phương trình đã cho với mọi số nguyên dương n. 2) Cho P = 10 10 1 (6 7) (6 7) 2       . Chứng minh giá trị của P là số nguyên.
Bài 4 2 điểm
Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 3 5 3 2 x y y x y x x y             (với x và y đều là số thực)
Bài 5 1 điểm
Cho hai số nguyên dương a và b có ước chung lớn nhất bằng 1. Biết ab bằng lập phương của số nguyên dương. Chứng minh a bằng lập phương của số nguyên dương.
Bài 6 1 điểm
Cho tập hợp S = {m  N | 126 ≤ m ≤ 2014 và m là bội số của 6}, với N là tập hợp các số tự nhiên. 1) Tính số các phần tử của tập hợp S 2) Tính số các phần tử của tập hợp S là ước số của 126126 mà không là bội của 13.
Bài 7 3 điểm
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) tâm O. Lấy điểm D thuộc cung   của đư ờng tròn (O) không chứa C, với D không trùng A và B. Vẽ đường thẳng a đi qua D vuông góc với AD, biết đường thẳng a cắt đoạn BC tại điểm M (M không trùng B và C). Gọi K là trung điểm đoạn DM. Đường trung trực đoạn thẳng DM cắt các đoạn thẳng AB, AC, BD, AM lần lượt tại các điểm E, F, N, I. (N không trùng B, F không trùng C). 1) Chứng minh bốn điểm B, C, N, F cùng thuộc một đường tròn. 2) Cho tam giác ABC cân tại A. Chứng minh MF // AB.