Học sinh giỏi toán Đồng Nai: Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán, trường chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hòa, Đồng Nai năm 2012

Mời các bạn tham khảo
---

1. X 2012 - Chuyen - Lương Thế Vinh

Bài 1.

Cho phương trình

x⁴ – 16x² + 32 = 0 (với x Î R)

Chứng minh rằng

x =

là một nghiệm của phương trình đã cho.

Giải

Suy nghĩ:

- x là nghiệm thì thế x vào phải thỏa phương trình.

- x là biểu thức cồng kềnh à xem có thể rút gọn không?

- thế x và phương trình cần tính x⁴, x². Nhận thấy x⁴ là khá lớn, chuyển về x².

x =

Þ x² = 8 - 2

- 2

Xét vế trái của phương trình

x⁴ - 16x² + 32 = (x² - 8)² - 32 (2)

Thế (1) vào (2)

Û [8 - 2

- 2

- 8]² - 32

= (2

+ 2

)² - 32

= 0.

Bài 2.

Giải hệ phương trình

(với x Î R, y Î R).

NX:

- Gần giống phương trình đối xứng loại 2, chỉ khác ở VP là -6 và 6 (lẽ ra phải bằng nhau)

- Thay vì trừ 2 phương trình cho nhau ta chuyển thành cộng để được phương trình mới có VP = 0

Cộng 2 phương trình ta được:

(x + y)(x + 1)(y + 1) + xy = 0

Û (x + y + 1)(xy + x + y) = 0 Û

* Với x + y + 1 = 0 Û y = - x - 1

Thế vào (1) thu được: 2x³ + 3x² + x - 6 = 0 Û (x - 1)(2x² + 5x + 6) = 0

Khi x = 1 Þ y = -2 (thỏa)

Phương trình 2x² + 5x + 6 = 0 vô nghiệm.

* Với xy + x + y = 0 (2) Þ y =

, vì x = -1 không thỏa (2);

Thế vào (1) thu được 2x -

+ 6 = 0 Û x² + 8x + 6 = 0 (3)

x₁ = -4 +

Þ y = 2 +

(kiểm tra thỏa hệ)

x₂ = -4 -

Þ y = 2 -

(thỏa hệ)

Vậy hệ có ba nghiệm (1; - 2), (-4 +

, 2 +

), (-4 -

, 2 -

)

Bài 3.

Cho ∆MNP đều có cạnh bằng 2cm. Lấy n điểm thuộc các cạnh hoặc ở phía trong tam giác đều MNP sao cho khoảng cách giữa hai điểm tùy ý lớn hơn 1 cm (với n là số nguyên dương). Tìm n lớn nhất thỏa điều kiện đã cho.

Vẽ các đường trung bình của D đều MNP, chúng chia tam giác NMP thành 4 tam giác đều có cạnh bằng 1 cm.

Trường hợp n ≥ 5. Theo nguyên lý Dirichlet, trong n điểm đã cho tồn tại 2 điểm thuộc các cạnh hoặc ở bên trong một tam giác đều nói trên. Gọi khoảng cách giữa 2 điểm này là d. Vậy d nhỏ hơn hoặc bằng cạnh của D đều này, tức là d ≤ 1 cm.

Do đó không xảy ra trường hợp này.

Trường hợp n < 5, xét với n = 4. Khi đó lấy 3 điểm lần lượt trùng M, N, P và điểm còn lại trùng trọng tâm G của D đều MNP.

Nhận thấy GM = GN = GP =

MNsin60⁰ =

> 1. Suy ra 4 điểm này thỏa bài toán. Do đó giá trị lớn nhất là n = 4.

Bài 4.

Chứng minh rằng cho 10 số nguyên dương liên tiếp không tồn tại hai số có ước chung lớn hơn 9.

Giải

Giả sử trong 10 số nguyên dương liên tiếp tồn tại hai số nguyên dương a, b (với a < b) có ước chung d > 9. (0,25đ)

Khi đó b – a

d Þ d ≤ b – a (vì b – a ≥ 1) (0,25đ)

Mặt khác a và b là hai số dương trong 10 số nguyên dương liên tiếp n, n + 1, n + 2, …, n + 9, với n Î Z nên b – a ≤ n + 9 – n = 9 (0,25đ)

Do đó d < 9. Mâu thuẫn với giả thiết d > 9. Đpcm. (0,25đ)

Bài 5.

Cho ∆ABC không cân, biết ∆ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của BC, CA, AB với đường tròn (I). Gọi M là giao điểm của đường thẳng EF và đường thẳng BC, biết AD cắt đường tròn (I) tại điểm N (với N không trùng D), gọi K là giao điểm của AI và EF

a) Chứng minh rằng các điểm I, D, N, K cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của đường tròn (I)