Mời các bạn tham khảo
---

I. 2013 – LTV – Toán chuyên

Bài 1 0,5 điểm

Giải phương trình x⁴ – x³ – x – 1 = 0 (với x Î R).

Giải

x⁴ – x³ – x – 1 = 0 (với x Î R).

(x² – 1)(x² + 1) – x(x² + 1) = 0 Û (x² + 1)(x² – x – 1) = 0

Û x² – x – 1 = 0 (1), vì x² + 1 > 0 "x Î R.

Phương trình (1) có D = 5 Þ

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x₁ =

; x₂ =

. Đây cũng là nghiệm của phương trình đã cho.

Bài 2 1,0 điểm

Cho x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x²– x – 1 = 0.

Tính giá trị biểu thức (x₁ – x₂)[(x₁)³ – (x₂)³]

Giải

Phương trình x² – x – 1= 0 luôn có hai nghiệm x₁, x₂ (vì ac = -1 < 0). Nên x₁ + x₂ = 1 và x₁x₂ = -1.

Vậy (x₁ – x₂)(x₁³ – x₂³) = (x₁– x₂)²(x₁² + x₂² + x₁x₂) = [(x₁+x₂)² – 4x₁x₂][(x₁ + x₂)² – x₁x₂] = 10

Bài 3 1,5 điểm

1) Cho k là số thực lớn hơn

. Chứng minh rằng:

2) Rút gọn F =

Giải

1) Cho k là số thực lớn hơn

. Chứng minh rằng:

Ta có VT =

(vì k >

)

2) Rút gọn F =

Lần lượt thế k = 1, 2, …, 49 vào đẳng thức ở câu 2.1

…

. Cộng vế theo vế ta có F =

(1 -

) =

Bài 4 2,0 điểm

Giải hệ phương trình

(với x Î R và y Î R)

Giải

Giải hệ phương trình

(với x Î R và y Î R)

Điều kiện x ¹ 0 và y ¹ 0 (0,25 đ)

Nhận thấy (1) Û y =

Þ x ¹

(0,25 đ)

Khi đó (2) Û x² +

= 3 (0,25 đ)

Û 2x³ – x² – 4x + 3 = 0 (0,25 đ)

Û (x – 1)(2x² + x – 3) = 0 (0,25 đ)

Û x = 1 hoặc 2x² + x – 3 = 0 (3)

+ Với x = 1 Þ y = 1 (thỏa) (0,25 đ)

+ (3) có hai nghiệm x = 1, x =

(vì a + b + c = 0) Þ y =

(thỏa) (0,25 đ)

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (1; 1), (

;

) (0,25 đ)

Bài 5 1,0 điểm

Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa a² + b² – ab = c² + d² – cd.

a) Chứng minh rằng (a + b)² – (c + d)² = 3(ab – cd).

b) Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

Giải

Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa a² + b² – ab = c² + d² – cd.

a) Chứng minh rằng (a + b)² – (c + d)² = 3(ab – cd).

Ta có a² + b² – ab = c² + d² – cd

Û (a + b)² – 3ab = (c + d)² – 3cd

Û (a + b)² – (c + d)² = 3(ab – cd) (0,25 đ)

b) Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

(a + b + c + d)(a + b – c – d) = 3(ab – cd)

Đặt p = a + b + c + d, p Î N* và p ≥ 4 (0,25 đ)

Giả sử p là số nguyên tố. Suy ra ab – cd

Þ ab + ac + bc + c² – (cd + ac + bc + c²)

p (0,25 đ)

Þ (a + c)(b + c) – cp

Þ a + c

p hoặc b + c

p, vô lý vì 2 ≤ a + c ≤ p và 2 ≤ b + c ≤ p.

Vậy p là hợp số. (0,25 đ)

Bài 6 1,0 điểm

Cho đa giác GHMNPQRSTUVW (với đa giác nếu không chú thích gì thêm thì hiểu là đa giác lồi).

a) Tính số đường chéo của đa giác đã cho có điểm chung với đoạn GS.

b) Tính số 10-giác (đa giác có 10 đỉnh), biết các đỉnh thuộc tập hợp: {G, H, M, N, P, Q, R, S, T, U, V, W}

Giải

Cho đa giác GHMNPQRSTUVW (với đa giác nếu không chú thích gì thêm thì hiểu là đa giác lồi).

a) Tính số đường chéo của đa giác đã cho có điểm chung với đoạn GS.

Nối 1 đỉnh tùy ý với 11 đỉnh còn lại ta được 11 đường chéo hoặc cạnh. Thực hiện cho 12 đỉnh thì mỗi đoạn thẳng được tính 2 lần.

Do đó số đường chéo của đa giác đã cho là: (12 ´ 11) : 2 – 12 = 54 (đường) (0.25 đ)

Các đường chéo của đa giác đã cho không có điểm chung với đoạn GS chỉ gồm các đường chéo của lục giá HMNPQR, tứ giác TUVW và 2 đoạn HR, TW. Tương tự có:

((6 ´ 5) : 2 – 6) + ((4 ´ 3) : 2 – 4) + 2 = 13 đường

Vậy số đường chéo cần tìm là: 54 – 13 = 41 (0,25 đ)

b) Tính số 10-giác (đa giác có 10 đỉnh), biết các đỉnh thuộc tập hợp: {G, H, M, N, P, Q, R, S, T, U, V, W}

Vì mỗi cách chọn 10 đỉnh để lập một 10-giác thỏa bài toán tương ứng với việc giảm 2 điểm trong tập đã cho, nghĩa là tương ứng với một đường chéo hoặc cạnh của đa giác đã cho. Theo kết quả trên, số 10-giác bằng: (12 ´ 11) : 2 = 66 (đường) (xem lại) (0,25 đ)