Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán, trường chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hòa, Đồng Nai năm 2011 - 2012 [Hướng dẫn giải]

Mời các bạn tham khảo
---

1.      X 2011  LTV – Toán chuyên

Bài 1.            

Cho phương trình x² – 20x – 8 = 0. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình đã cho (x₁ > x₂). Tính giá trị biểu thức M = .

Giải          

Phương trình x² – 20x – 8 = 0 (1) có

D’ = 100 + 8 = 108 Þ

Vậy (1) có hai nghiệm:

x₁ = 10 + 6, x₂ = 10 − 6 (vì x₁ > x₂)

Nhận thấy

x₂ = (1 − )³ Û = 1 − .

Từ đó = −14 + 8. Do đó

M =  = − 28.

Bài 2.            

Giải hệ phương trình

Giải          

(1) Þ x³ + y³ + 3xy − 1 = 0

Û (x + y)³ − 3xy(x + y) + 3xy − 1 = 0

Û (x + y − 1)[(x + y⁾² − (x + y) + 1] − 3xy(x + y − 1) = 0

Û (x + y − 1)(x² + y² + 1 − xy − x − y) = 0.

Û x + y − 1 = 0 hoặc

x² + y² + 1 − xy − x − y = 0

* Với x + y −1 = 0 Û y = 1 − x

Thế vào phương trình (i) thu được:

x³ − 2x² + 2x + 5 = 0

Û (x + 1)(x² − 3x + 5) = 0

Û x = −1 hoặc x² − 3x + 5 = 0 (ii)

+ Với x = −1 thì y = 2 (kiểm tra thỏa hệ đã cho)

+ Phương trình (ii) vô nghiệm vì D = 9 − 20 = −11 < 0.

* Với x² + y² + 1 − xy − x − y = 0

Û (x − y)² + (x − 1)² + (y − 1)² = 0

Û (x − y)² = (x − 1)² = (y − 1)² = 0

Û x = y = 1 (kiểm tra không thỏa hệ đã cho)

Do đó hệ đã cho chỉ có một nghiệm là (−1; 2)

Bài 3.            

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho parabol (P) và đường thẳng (d) lần lượt có phương trình y = 2x² và y = 4x + 6. Gọi E là điểm thuộc parabol (P) có hoành độ bằng -2. Gọi F, G là các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P), biết F có hoành độ âm, G có hoành độ dương. Vẽ hình bình hành EFGH. Xác định tọa độ của điểm H. Chứng minh điểm H không thuộc parabol (P).

Giải          

Ta có (P): y = 2x² và (d): y = 4x + 6.

Vì E Î (P) và E có hoành độ x = -2 nên E có tung độ y = 2(-2)² = 8. Vậy E(-2; 8)

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

2x² = 4x + 6 Û x² - 2x - 3 = 0

Û x = -1 hoặc x = 3 (vì 1 - (-2) + (-3) = 0).

Với x = -1 thì y = 2, với x = 3 thì y = 18.

Vậy (d) và (P) có 2 giao điểm là F(-1; 2), G(3; 18) vì F có hoành độ âm, G có hoành độ dương.

Vì EH // (d) nên đường thẳng EH có phương trình: y = 4x + b (với b ≠ 6).

Mà E Î EH Û 8 = 4(-2) + b Û b = 16 (thỏa).

Vậy đường thẳng EH có phương trình: y = 4x + 16.

Giả sử y = mx + n là phương trình đường thẳng EF.

Mà E, F Î đường thẳng EF Û  Û

Vậy đường thẳng EF có phương trình y = -6x - 4.

Vì GH // EF nên tương tự đường thẳng GH có phương trình y = -6x + 36

Hoành độ H là nghiệm của phương trình 4x + 16 = -6x + 36 Û x = 2

Suy ra H có tung độ y = 24. Do đó H(2; 24).

Giả sử H Î (P) Û 24 = 2(2²), vô lí. Do đó H Ï (P).

Bài 4.           1 điểm

Tìm các số tự nhiên a, b, c sao cho

a²(b + c) + b²(c + a) + c²(a + b) là số nguyên tố.

Giải          

Vì A = a²(b + c) + b²(c + a) + c²(a + b)

= ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)

Mà ab(a + b)  2, " a, b Î N (vì với a chẵn hoặc b chẵn thì hiển nhiên, với a, b lẻ thì a + b chẵn)

Tương tự bc(b + c)  2, ca(c + a)  2, " a, b, c Î N.

Nên A  2 " a, b, c Î N.

A nguyên tố Û A = 2

Nếu a ≥1, b ≥ 1, c ≥ 1. Khi đó A ≥ 6.

Nếu a = 0 Þ bc(b + c) = 2 Þ b = 1, c = 1

Nếu b = 0 Þ ac(a + c) = 2 Þ a = 1, c = 1

Nếu c = 0 Þ ab(a + b) = 2 Þ a = 1, b = 1.

Do đó (0; 1; 1) và các hoán vị của nó là kết quả bài toán.

Bài 5.           3,5 điểm

Cho DABC có các góc ABC, BCA, CAB đều là góc nhọn. Biết D là trực tâm của DABC. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp DDBC, gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp DDCA.

a) Chứng minh DCIJ cân.

b) Chứng minh IJ = AB.

Giải          

Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của các đoạn BC, AC, CD.

Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp DDBC nên IK là đường trung trực của đoạn CD. Suy ra IK ^ CD.

Tương tự JK ^ CD.

Từ đó I, J, K là ba điểm thẳng hàng và CK là đường cao của DCỊJ.

Mặt khác MN // AB (vì MN là đường trung bình của DABC)

Mà AB ^ CD (vì D là trực tâm của DABC). Nên MN ^ CD.

Theo chứng minh trên IK ^ CD. Vậy MN // IK

Tương tự NK // IM

Vậy MNKI là hình bình hành, suy ra KI = MN. Tương tự KJ = MN.

Từ đó KI = KJ, nghĩa là K là trung điểm IJ.

Vậy CK là trung tuyến DCIJ. Do đó DCIJ cân tại C.

b)

Chứng minh IJ = AB

Theo chứng minh trên ta có IK = MN và JK = MN.

Þ IJ = IK + JK = 2MN

Mặt khác AB = 2MN (vì MN là đường trung bình của DABC)

Do đó IJ = AB

Cách 2

Ta có IJ ^ CD (chứng minh trên)

Mà CD ^ AB (do D là trực tâm của DABC)

Nên IJ // AB

Mặt khác   (*)

Mà   (vì IB = IC nên DIBC cân tại I)

và   (chứng minh trên)

Þ  

Tương tự  

Nên  

Vậy (*) Û  . Từ đó AJ // BI

Do đó ABIJ là hình bình hành. Suy ra IJ = AB.